przeliczalna suma w przestrzeni zupełnej X, taka, że:
domkniętych zbiorów nigdziegęstych jest zbiorem brzegowym (a więc, m.in. nie może wypełniać całej przestrzeni).
Równoważnie: Przekrój przeliczalnej rodziny gęstych zbiorów otwartych jest gęsty.
Równoważnie: W przestrzeni zupełnej każdy zbiór I kategorii jest brzegowy.
Dowód: Niech A będzie zbiorem I kategorii, czyli gdzie jest nigdziegęsty dla dowolnego . Pokażemy, że jest brzegowy, czyli }. Niech będzie dowolną kulą otwartą. Udowodnimy, że . Skoro jest nigdziegęsty, to istnieje kula , że . Możemy przyjąć, że jest kulą domkniętą oraz δ (gdzie δ oznacza średnicę zbioru). Następnie, w kuli znajdziemy kulę domkniętą , że i δ . Indukcyjnie, znajdziemy ciąg kul domkniętych taki, że: dla dowolnego mamy: , , δ . Z twierdzenia Cantora, mamy: . Zatem: oraz: więc: .
Tutaj Krzysiu, pozdrawiam moderatorów!