twierdzenia Katětova-Tonga

Bez kategorii

Niech X będzie przestrzenią normalną oraz

{\displaystyle g,h\colon X\to \mathbb {R} }

będą takimi funkcjami, że g jest półciągła z góry, h jest półciągła z dołu oraz g(x) ≤ h(x) dla każego x ∈ X. Istnieje wówczas taka funkcja ciągła

f\colon X\to {\mathbb {R}},

że dla każego x ∈ X zachodzi nierówność

{\displaystyle g(x)\leqslant f(x)\leqslant h(x)}.

*Przy pomocy twierdzenia Katětova-Tonga można udowodnić twierdzenie Tietzego-Urysohna i lemat Urysohna*

Twierdzenie Baire’a

Bez kategorii

przeliczalna suma w przestrzeni zupełnej X, taka, że:

{\displaystyle E\ =\ F_{1}\cup F_{2}\cup \cdots \cup F_{k}\cup \cdots }

domkniętych zbiorów nigdziegęstych jest zbiorem brzegowym (a więc, m.in. nie może wypełniać całej przestrzeni).

Równoważnie: Przekrój przeliczalnej rodziny gęstych zbiorów otwartych jest gęsty.

Równoważnie: W przestrzeni zupełnej {\displaystyle <X,d>} każdy zbiór I kategorii jest brzegowy.

Dowód: Niech A będzie zbiorem I kategorii, czyli {\displaystyle A=\bigcup \limits _{n}A_{n}} gdzie {\displaystyle A_{n}} jest nigdziegęsty dla dowolnego n\in {\mathbb {N}}. Pokażemy, że A jest brzegowy, czyli }{\displaystyle {\overline {X\backslash A}}=X}. Niech {\displaystyle K_{0}} będzie dowolną kulą otwartą. Udowodnimy, że {\displaystyle K_{0}\cap (X\backslash A)\not =\emptyset }. Skoro {\displaystyle A_{1}} jest nigdziegęsty, to istnieje kula {\displaystyle K_{1}\subset K_{0}}, że {\displaystyle K_{1}\cap A_{1}=\emptyset }. Możemy przyjąć, że {\displaystyle K_{1}} jest kulą domkniętą oraz δ {\displaystyle (K_{1})<1} (gdzie δ oznacza średnicę zbioru). Następnie, w kuli {\displaystyle K_{1}} znajdziemy kulę domkniętą {\displaystyle K_{2}}, że {\displaystyle K_{2}\cap A_{2}=\emptyset } i δ {\displaystyle (K_{2})<{\frac {1}{2}}}. Indukcyjnie, znajdziemy ciąg kul domkniętych {\displaystyle \{K\}_{n}} taki, że: dla dowolnego  n\in {\mathbb {N}} mamy: {\displaystyle K_{n}\cap A_{n}=\emptyset } , {\displaystyle K_{n+1}\subset K_{n}} , δ {\displaystyle (K_{n})<{\frac {1}{n}}}. Z twierdzenia Cantora, mamy: {\displaystyle \bigcap \limits _{n}K_{n}\not =\emptyset }. Zatem: {\displaystyle \emptyset \not =\bigcap \limits _{n}K_{n}\subset \bigcap \limits _{n}(X\backslash A_{n})=X\backslash \bigcup \limits _{n}A_{n}=X\backslash A} oraz:{\displaystyle \bigcap \limits _{n}K_{n}\subset K_{0}} więc:  {\displaystyle \bigcap \limits _{n}K_{n}\subset K_{0}\cap (X\backslash A)\not =\emptyset }.

Twierdzenie Pitagorasa

Bez kategorii

W dowolnym trójkącie prostokątnym suma kwadratów długości przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej tego trójkąta. Zgodnie z oznaczeniami na rysunku obok zachodzi tożsamość

a^{2}+b^{2}=c^{2}.

Geometrycznie oznacza to, że jeżeli na bokach trójkąta prostokątnego zbudujemy kwadraty, to suma pól kwadratów zbudowanych na przyprostokątnych tego trójkąta będzie równa polu kwadratu zbudowanego na przeciwprostokątnej.